如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，P在單位圓上，且B（-
3
5
，
4
5
），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），
OQ
=
OA
+
OP
．四邊形OAQP的面積為S，
（1）求tan（α-
π
4
）；
（2）求
OQ
•
OA
+S的最大值及此時(shí)θ的值．
分析：（1）利用兩角差的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）利用數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)計(jì)算即可．
解答：解：（1）∵B（-
3
5
，
4
5
），∠AOB=α，∴tanα=-
4
3
，
∴tan（α-
π
4
）=
tanα-tan
π
4
1+tanα•tan
π
4
=
-
4
3
-1
1-
4
3
=7．
（2）由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），
則
OQ
=(1+cos?θ，sin?θ)，
OA
?
OQ
=1+cos?θ，
又∵S=sinθ，
∴
OQ
•
OA
+S=sinθ+cosθ+1=
2
sin(θ+
π
4
)+1，（0＜θ＜π）．
∵0＜θ＜π，∴
π
4
＜θ＜
5π
4
，
∴當(dāng)θ+
π
4
=
π
2
，即θ=
π
4
時(shí)，
OQ
•
OA
+S取得最大值1+
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用以及兩角和差的正切公式，以及向量和三角函數(shù)的綜合問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），
OQ
=
OA
+
OP
，四邊形OAQP的面積為S．
（1）求
OA
•
OQ
+S的最大值及此時(shí)θ的值θ0；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-
3
5
，
4
5
)，∠AOB=α，在（1）的條件下求cos（α+θ0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，P為單位圓上不同的點(diǎn)，∠AOB=θ，∠AOP=2θ，0≤θ≤π．
（Ⅰ）當(dāng)θ為何值時(shí)，
AB
∥
OP
？
（Ⅱ）若
OQ
=
OA
+
OB
，則當(dāng)θ為何值時(shí)，點(diǎn)Q在單位圓上？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•普寧市模擬）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B、P在單位圓上，且B(-
3
5
，
4
5
)，∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），
OQ
=
OA
+
OP
，四邊形OAQP的面積為S．
（Ⅰ）求cosα+sinα；
（Ⅱ）求
OA
•
OQ
+S的最大值及此時(shí)θ的值θ0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•茂名二模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，P在單位圓上，且B（-
3
5
，
4
，5
），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），
OQ
=
OA
+
OP
．設(shè)四邊形OAQP的面積為S，
（1）求cos（α-
π
6
）；
（2）求f（θ）=
OA
•
OQ
+S的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B、P在單位圓上，且B(-
3
5
，
4
5
)，∠AOB=α．
（Ⅰ）求
4cosα-2sinα
5cosα+3sinα
的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），
OQ
=
OA
+
OP
，四邊形OAQP的面積為S，f(θ)=(
OA
•
OQ
-1)S+S2，求f（θ）的最大值及此時(shí)θ的值．

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