Question

若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a²+b²+c²=1，則a²b²c²的最大值為

 

；a+b+c的最小值為

 

，3ab-3bc+2c²最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：轉(zhuǎn)化思想,不等式

分析：①根據(jù)算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，利用a²+b²+c²≥3

3	a2b2c2

，求出a²b²c²的最大值；
②根據(jù)a²+b²+c²≥

1

3

（a+b+c）²，求出a+b+c的最小值；
③討論c=0以及c≠0時(shí)，利用判別式△≥0，求出3ab-3bc+2c²的最大值為．

解答： 解：①∵a≥0，b≥0，c≥0時(shí)，
a+b+c≥3

3	abc

，
∴a²+b²+c²≥3

3	a2b2c2

，
∴a²b²c²≤(

a2+b2+c2

3

)3=(

1

3

)3=

1

27

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

3

3

時(shí)，“=”成立，
∴a²b²c²的最大值為

1

27

；
②∵a²+b²+c²≥

1

3

（a+b+c）²
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²）=3
∴-

3

≤a+b+c≤

3

∴a+b+c的最小值為-

3

；
③不妨考慮c，當(dāng)c=0時(shí)，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)2

4

=

3

4

，
當(dāng)c≠0時(shí)，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2

，
設(shè)x=

a

c

，y=

b

c

，則可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x為實(shí)數(shù)，則有判別式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y為實(shí)數(shù)，則△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，則M＞0，則M≤3；
∴3ab-3bc+2c²最大值為3．
故答案為：

1

27

，-

3

，3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式選修的應(yīng)用問(wèn)題，考查了靈活應(yīng)用基本不等式的問(wèn)題，是綜合性題目．