Question

在四邊形ABCD中,A、B為定點(diǎn),C、D是動(dòng)點(diǎn),AB=,BC=CD=AD=1,△ABD與△BCD的面積分別為S與T.

(1)求S²+T²的取值范圍;

(2)當(dāng)S²+T²取得最大值時(shí),求∠BCD的值.

Answer 1

思路分析:設(shè)BD=2x,利用正弦定理和余弦定理將S²+T²轉(zhuǎn)化為x²的二次函數(shù)的形式求最值.求最值時(shí)注意x的取值范圍.

解:(1)如右圖,設(shè)BD=2x,則-1＜2x＜2,

∴＜x＜1.

在△CDB中,過(guò)C作⊥交于E,

∵==1,∴==x.

∴²=1-x²,

從而T²=(·)²=x²(1-x²)=x²-x⁴.

又S²=(AB·sinA)²=(sinA)²

=(1-cos²A)

=［1-()²］

=-(1-x²)²=-x⁴+2x²-.

∴S²+T²=-x⁴+2x²-+x²-x⁴

=-2(x²-)²+.

∴當(dāng)x²=時(shí),S²+T²取得最大值為.

∵1-＜x²＜1,

∴＜S²+T²≤,

即S²+T²的取值范圍是(,］.

(2)當(dāng)S²+T²=時(shí),x=,=,此時(shí)∠BCD=120°.