Question

10．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若$\frac{17}{15}$cos（A+B）-cos（A-B）=0
（1）證明：tanA•tanB=$\frac{1}{16}$；
（2）記△ABC的面積為S，求$\frac{S}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）把原等式展開兩角和與差的余弦，然后化弦為切得答案；
（2）利用余弦定理及正弦定理，把$\frac{S}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$化為含有tanC的代數(shù)式，然后利用基本不等式求解．

解答 （1）證明：由$\frac{17}{15}$cos（A+B）-cos（A-B）=0，得
17cosAcosB-17sinAsinB-15cosAcosB-15sinAsinB=0，
即2cosAcosB=32sinAsinB，
∴tanA•tanB=$\frac{1}{16}$；
（2）解：∵c²=a²+b²-2ab•cosC，且S=$\frac{1}{2}ab•sinC$，
∴$\frac{S}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}ab•sinC}{2ab•cosC}$=$\frac{1}{4}tanC$，
而tanC=-tan（A+B）=$-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$-\frac{tanA+tanB}{1-\frac{1}{16}}=-\frac{16}{15}（tanA+tanB）$$≤-\frac{16}{15}×2\sqrt{tanAtanB}=-\frac{8}{15}$，
則$\frac{S}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}=\frac{1}{4}tanC≤-\frac{2}{15}$（當且僅當tanA=tanB=$\frac{1}{4}$時取等號）．

點評 本題考查兩角和與差的余弦及正切，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．