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【題目】已知橢圓 的左右焦點分別為,,離心率為.若點為橢圓上一動點,的內切圓面積的最大值為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過點作斜率為的動直線交橢圓于兩點,的中點為,在軸上是否存在定點,使得對于任意值均有,若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)首先根據橢圓的離心率,可得內切圓半徑為,從而得到三角形的面積又因為,根據當為橢圓的上、下頂點時,的面積最大,求得,從而得到橢圓的方程;

(2)設出直線的方程與橢圓方程聯立,利用韋達定理,得到兩根和與兩根積,已知可得 ,利用向量數量積坐標公式,對任意的k值此方程無解,所以不存在點N使得結論成立.

(1)由,得

內切圓半徑為,則,

為橢圓的上、下頂點時,的面積最大

,

,又,解得

所以所求橢圓的方程為

(2)設動直線方程為,點的坐標為,

聯立,得

,則

由已知可得 ,則

=0

∵對任意的k值此方程無解

∴不存在點N使得結論成立.

練習冊系列答案
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