Question

【題目】已知橢圓 的左右焦點分別為，，離心率為.若點為橢圓上一動點，的內切圓面積的最大值為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過點作斜率為的動直線交橢圓于兩點，的中點為，在軸上是否存在定點，使得對于任意值均有，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）首先根據橢圓的離心率，可得，設內切圓半徑為，從而得到三角形的面積，又因為，根據當為橢圓的上、下頂點時，的面積最大，求得，從而得到橢圓的方程；

（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，得到兩根和與兩根積，已知可得 ,利用向量數量積坐標公式，對任意的k值此方程無解，所以不存在點N使得結論成立.

(1)由，得

設內切圓半徑為，則，

又，

當為橢圓的上、下頂點時，的面積最大

，

又

，又，解得

所以所求橢圓的方程為

(2)設動直線方程為,點的坐標為，

聯立，得

設，則

由已知可得 ,則

=0

∵對任意的k值此方程無解

∴不存在點N使得結論成立.