Question

17．判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-9}$；
（2）f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$；
（4）f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|x-2|-2}$．

Answer 1

分析 先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（-x）與f（x） 的關(guān)系，從而根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義得出結(jié)論．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-9}$，
由9-x²≥0，且x²-9≥0，求得x=±3，故函數(shù)的定義域?yàn)閧-3，3}，
再根據(jù)f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)．
（2）對(duì)于函數(shù)f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，根據(jù)$\frac{1-x}{1+x}$=-$\frac{x-1}{x+1}$≥0，可得-1＜x≤1，
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1＜x≤1 }，
故函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x+3-3}$=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4{-x}^{2}≥0}\\{|x+3|-3≠0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
求得該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-2≤x≤2，且x≠0}．
再結(jié)合f（-x）=$\frac{\sqrt{4{-x}^{2}}}{-x}$=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．
（4）對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|x-2|-2}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}＞0}\\{|x-2|≠2}\end{array}\right.$，
即-1＜x＜1，且x≠0，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1，且x≠0 }，
故f（x）=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{2-x-2}$=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{-x}$，故有f（-x）=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{x}$=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．