Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點．
（1）證明：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共線；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，當(dāng)μ²+λ²=1且M在橢圓上時，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）直線與橢圓方程聯(lián)立，韋達定理得A、B兩點坐標的關(guān)系，即可證明結(jié)論；
（2）利用$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，當(dāng)μ²+λ²=1且M在橢圓上，得出x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)直線AB的方程為y=x+c，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
化簡得（a²+1）x²+2a²cx+a²c²-a²=0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+1}$
又y₁=x₁+c，y₂=x₂+c，∴y₁+y₂=-$\frac{2c}{{a}^{2}+1}$
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共線；
（2）解：設(shè)M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵M（x，y）在橢圓上，
∴（λx₁+μx₂）²+a²（λy₁+μy₂）²=a²．
即λ²（x₁²+a²y₁²）+μ²（x₂²+a²y₂²）+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．①
又x₁²+a²y₁²=a²，x₂²+a²y₂²=a²，μ²+λ²=1
∴x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0．
∴（a²+1）x₁x₂+ca²（x₁+x₂）+a²（a²-1）=0
代入解得a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．

點評 考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．