Question

6．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1，面PAB∩面PCD=1．
（1）證明：l∥CD；
（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）證明AB∥面PCD，又AB?面PAB，面PAB∩面PCD=l，即可得出結(jié)論；
（2）取棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M，連接BD．設(shè)BD∩AC=O．連接BF，MF，BM，OE．結(jié)合菱形的性質(zhì)及三角形中位線定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到BF∥平面AEC．

解答 （1）證明：∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，又AB?面PCD，CD?面PCD，
∴AB∥面PCD，又AB?面PAB，面PAB∩面PCD=l，
∴AB∥l，∴AB∥CD，∴l(xiāng)∥CD
（2）解：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF∥平面AEC．
證明如下，如圖取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，由于M為PE中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，
所以FM∥CE①
由M為PE中點(diǎn)，得$EM=\frac{1}{2}PE=ED$，知E是MD的中點(diǎn)，
連結(jié)BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，則O為BD的中點(diǎn)，
由于E是MD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，所以BM∥OE②
由①FM∥CE、②BM∥OE知，平面BFM∥平面AEC，
又BF?平面BFM，
所以BF∥平面AEC．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定與性質(zhì)，（2）的關(guān)鍵是證得平面BMF∥平面AEC．