Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，且過(guò)點(diǎn)（0，

3

），設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．
（1）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，問(wèn)k₁k₂是否為定值？并證明你的結(jié)論；
（2）記△APQ的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)離心率和上頂點(diǎn)，求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，聯(lián)立方程組，求解點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，然后，表示出直線PQ的方程，然后，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代人即可；
（2）首先，設(shè)出直線PQ的方程，然后，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造面積表達(dá)式，然后，求解其最大值．

解答： 解：（1）∵e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，①
又過(guò)點(diǎn)（0，

3

），
∴b=

3

，②
聯(lián)立①②得
a=2，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
∵直線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，
∴直線AP的方程為：y=k₁（x+2），
直線AQ的方程為y=k₂（x+2），
聯(lián)立方程組

y=k1(x+2) 3x2+4y2=12

，
消去y并整理得
（3+4k12）x²+16k12x+16k12-12=0，
∴-2+x₁=

-16k12

3+4k12

，
∴x₁=

2-8k12

3+4k12

，代人直線方程，得
y₁=

4k1

1+4k12

，
∴P（

2-8k12

1+4k12

，

4k1

1+4k12

），
同理，得
Q（

2-8k22

1+4k22

，

4k2

1+4k22

），
∴直線PQ的方程為：

y- 4k1 1+4k12

4k2 1+4k22 - 4k1 1+4k12

=

x- 2-8k12 1+4k12

2-8k22 1+4k22 - 2-8k12 1+4k12

，
將點(diǎn)（1，0）坐標(biāo)代人，并化簡(jiǎn)，得
k₁•k₂=-

1

12

（定值），
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線斜率不存在時(shí)，
此時(shí)P（1，

3

2

） Q（1，-

3

2

），
∴S=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則
方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y并整理，得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

，
∴|PQ|=

(3+k2)

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

(3+k2)(1+3k2)

1+4k2

，
=

3+ 13+40k2 16k4+8k2+1

，
∵點(diǎn)A（-2，0）到直線的距離為：
d=

|-2k-0-k|

1+k2

=

3|k|

1+k2

∴S=

1

2

×|PQ|×d
=

3

2

3- 8k2 16k4+8k2+1

=

3

2

3- 8 16k2+ 1 k2 +8

≤

3

2

3- 8 2× 16k2• 1 k2 +8

=

3

2

×

5 2

=4.5，
∴S的最大值4.5．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的概念和基本性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于難題．