Question

在△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，P_o是邊AB上的一個(gè)定點(diǎn)，P_oB=

1

4

AB，且對(duì)于AB上任一點(diǎn)P，恒有

PB

•

PC

≥

PoB

•

PoC

，則下列結(jié)論正確的是

 

（填上所有正確命題的序號(hào)）．
①當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，

PB

+

PC

與

PD

共線；
②

PB

•

PC

=

PD2

-

DB2

；
③存在點(diǎn)P，使|

PD

|＜|

PoD

|；
④

PoC

•

AB

=0；
⑤AC=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），D（

2+a

2

，

b

2

），然后由題意可寫出結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得關(guān)于x的二次不等式，結(jié)合二次不等式的知識(shí)可求a=0，進(jìn)而可判斷⑤；由向量的中點(diǎn)表示，即可判斷①；
運(yùn)用數(shù)列的坐標(biāo)表示，求出

PB

•

PC

，向量的模的公式，求得

PD2

-

DB2

即可判斷②；
求出|

PD

|，|

PoD

|，即可判斷③；運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，求出

PoC

•

AB

，即可判斷④．

解答： 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0）（-2＜x＜2），
則BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），D（

2+a

2

，

b

2

），
∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b）
∵恒有

PB

•

PC

≥

PoB

•

PoC

，∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立，
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立，
令f（x）=x²-（a+2）x+a+1，
當(dāng)

a+2

2

＜-2，必有f（-2）≥0，無(wú)解；
當(dāng)

a+2

2

＞2，必有f（2）≥0，無(wú)解；
當(dāng)-2≤

a+2

2

≤2，必有△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0，∴a=0，即C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC，故△ABC為等腰三角形．
故⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于①，當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，

PB

+

PC

=（2+a-2x，b），

PD

=（

2+a-2x

2

，

b

2

），即有

PD

=

1

2

（

PB

+

PC

），則有

PB

+

PC

與

PD

共線，故①正確；
對(duì)于②，

PB

•

PC

=（2-x）（a-x）=x²-2x，

PD2

-

DB2

=（

2+a-2x

2

）²-（

a-2

2

）²-（

b

2

）²
=（1-x）²-1-

b2

4

＜x²-2x，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，|

PD

|=

(1-x)2+ b2 4

＞|

PoD

|=

b2 4

，則不存在點(diǎn)P，使|

PD

|＜|

PoD

|，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，

PoC

•

AB

=（-1，b）•（4，0）=-4+0=-4，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題的能力．