Question

在△ABC中，D為BC邊上的中點，P_o是邊AB上的一個定點，P_oB=

1

4

AB，且對于AB上任一點P，恒有

PB

•

PC

≥

PoB

•

PoC

，則下列結論正確的是

 

（填上所有正確命題的序號）．
①當P與A，B不重合時，

PB

+

PC

與

PD

共線；
②

PB

•

PC

=

PD2

-

DB2

；
③存在點P，使|

PD

|＜|

PoD

|；
④

PoC

•

AB

=0；
⑤AC=AB．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設AB=4，C（a，b），P（x，0），A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），D（

2+a

2

，

b

2

），然后由題意可寫出結合向量的數量積的坐標表示可得關于x的二次不等式，結合二次不等式的知識可求a=0，進而可判斷⑤；由向量的中點表示，即可判斷①；
運用數列的坐標表示，求出

PB

•

PC

，向量的模的公式，求得

PD2

-

DB2

即可判斷②；
求出|

PD

|，|

PoD

|，即可判斷③；運用向量的數量積的坐標公式，求出

PoC

•

AB

，即可判斷④．

解答： 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系
設AB=4，C（a，b），P（x，0）（-2＜x＜2），
則BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），D（

2+a

2

，

b

2

），
∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b）
∵恒有

PB

•

PC

≥

PoB

•

PoC

，∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立，
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立，
令f（x）=x²-（a+2）x+a+1，
當

a+2

2

＜-2，必有f（-2）≥0，無解；
當

a+2

2

＞2，必有f（2）≥0，無解；
當-2≤

a+2

2

≤2，必有△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0，∴a=0，即C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC，故△ABC為等腰三角形．
故⑤錯誤；
對于①，當P與A，B不重合時，

PB

+

PC

=（2+a-2x，b），

PD

=（

2+a-2x

2

，

b

2

），即有

PD

=

1

2

（

PB

+

PC

），則有

PB

+

PC

與

PD

共線，故①正確；
對于②，

PB

•

PC

=（2-x）（a-x）=x²-2x，

PD2

-

DB2

=（

2+a-2x

2

）²-（

a-2

2

）²-（

b

2

）²
=（1-x）²-1-

b2

4

＜x²-2x，故②錯誤；
對于③，|

PD

|=

(1-x)2+ b2 4

＞|

PoD

|=

b2 4

，則不存在點P，使|

PD

|＜|

PoD

|，故③錯誤；
對于④，

PoC

•

AB

=（-1，b）•（4，0）=-4+0=-4，故④錯誤．
故答案為：①．

點評：本題主要考查了平面向量的運算，向量的模及向量的數量積的概念，向量運算的幾何意義的應用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力．