Question

9．如圖所示，在側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB═$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，E，F(xiàn)分別是DD₁，AA₁的中點(diǎn)．
（I）證明：EF∥平面B₁C₁CB；
（11）求多面體A₁B₁F-D₁C₁E的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合三角形的中位線定理可得AD∥BC，再由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由多面體A₁B₁F-D₁C₁E的體積等于三棱柱A₁B₁F-D₁ME的體積與三棱錐C₁-D₁ME的體積之和，然后結(jié)合已知分別求解得答案．

解答 證明：（Ⅰ）∵E、F分別是DD₁、AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，
又∵AD∥BC，
∴EF∥BC，而EF?平面B₁C₁CB，且BC?平面B₁C₁CB，
∴EF∥平面B₁C₁CB；
解：（Ⅱ）設(shè)B₁C₁中點(diǎn)為M，連接EM、D₁M，
由已知得：B₁C₁⊥平面EMD₁，且平面EMD₁∥平面FB₁A₁，
∴多面體A₁B₁F-D₁C₁E的體積等于三棱柱A₁B₁F-D₁ME的體積與三棱錐C₁-D₁ME的體積之和，
∵AD⊥AB，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，
即，$V=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴多面體的體積A₁B₁F-D₁C₁E為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積公式的求法，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．