Question

19．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線l與兩條漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，如果△PQF是等邊三角形，則雙曲線的離心率是2．

Answer 1

分析 求出右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)P，Q，△PQF為等邊三角形，可得直線PF的斜率為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出a，b的關(guān)系，與c²=a²+b²聯(lián)立求e．

解答 解：雙曲線的右準(zhǔn)線l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，兩條漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
二者聯(lián)立得，y=±$\frac{ab}{c}$，
可設(shè)P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
又△PQF為等邊三角形，且F（c，0），
可得直線PF的斜率為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{\frac{ab}{c}}{c-\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得b=$\sqrt{3}$a，
即c²-a²=3a²，
即有c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和準(zhǔn)線方程，求交點(diǎn)，以及直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．