Question

11．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=2，a=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b²+c²的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）由已知條件和（1）的結(jié)果可得A=$\frac{π}{6}$，再由面積公式整體可得bc，代入a²=b²+c²-2bccosA整體可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=4sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{6}$，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4$\sqrt{3}$
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入數(shù)據(jù)可得3²=b²+c²-2×4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b²+c²=21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角函數(shù)的周期性和整體思想，屬中檔題．