Question

20．已知數(shù)列{a_n}是無窮數(shù)列，a₁=a，a₂=b（a，b是正整數(shù)），${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}\begin{array}{l}{\;}{（\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}＞1）}\end{array}，\\ \frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}\begin{array}{l}{\;}{（\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}≤1）}\end{array}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=1，寫出a₄，a₅的值；
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}中${a_k}=1（k∈{N^*}）$，求證：數(shù)列{a_n}中有無窮項(xiàng)為1；
（Ⅲ）已知數(shù)列{a_n}中任何一項(xiàng)都不等于1，記b_n=max{a_2n-1，a_2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}為m，n較大者）．求證：數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）${a_k}=1（k∈{N^*}）$，假設(shè)a_k+1=m，對(duì)m分類討論，利用已知遞推關(guān)系即可證明．
（Ⅲ）由條件可知a_n＞1（n=1，2，3，…）．由于{a_n}中任何一項(xiàng)不等于1，可得a_n≠a_n+1（n=1，2，3，…）．分類討論：①若a_2n-1＞a_2n，則b_n=a_2n-1．②若a_2n-1＜a_2n，則b_n=a_2n．再利用遞推關(guān)系即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}＜$1，∴a₃=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=2．
同理可得：a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，a₅=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$=1．
（Ⅱ）${a_k}=1（k∈{N^*}）$，假設(shè)a_k+1=m，
①當(dāng)m=1時(shí)，依題意有a_k+2=a_k+3=…=1，
②當(dāng)m＞1時(shí)，依題意有a_k+2=m，a_k+3=1，
③當(dāng)m＜1時(shí)，依題意有${a_{k+2}}=\frac{1}{m}$，${a_{k+3}}=\frac{1}{m^2}$，${a_{k+4}}=\frac{1}{m}$，${a_{k+5}}=\frac{1}{m}$，a_k+6=1．
由以上過程可知：若${a_k}=1（k∈{N^*}）$，在無窮數(shù)列{a_n}中，第k項(xiàng)后總存在數(shù)值為1 的項(xiàng)，以此類推，數(shù)列{a_n}中有無窮項(xiàng)為1．
（Ⅲ）證明：由條件可知a_n＞1（n=1，2，3，…），
∵{a_n}中任何一項(xiàng)不等于1，∴a_n≠a_n+1（n=1，2，3，…）．
①若a_2n-1＞a_2n，則b_n=a_2n-1．
∵${a_{2n+1}}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}$，∴a_2n-1＞a_2n+1．
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＞1$，則${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＜{a_{2n-1}}$，于是a_2n-1＞a_2n+2；
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＜1$，則${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}}}=\frac{{{a_{2n}}^2}}{{{a_{2n-1}}}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{a{\;}_{2n-1}}}•{a_{2n}}＜{a_{2n}}＜{a_{2n-1}}$，于是a_2n-1＞a_2n+2；
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}=1$，則a_2n+2=1，于題意不符；
∴a_2n-1＞max{a_2n+1，a_2n+2}，即b_n＞b_n+1．
②若a_2n-1＜a_2n，則b_n=a_2n．
∵${a_{2n+1}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$，∴a_2n＞a_2n+1；
∵${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{{a_{2n+1}}}}$，∴a_2n＞a_2n+2；
∴a_2n＞max{a_2n+1，a_2n+2}，即b_n＞b_n+1．
綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)n，總有b_n＞b_n+1，所以數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、分類討論方法、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．