Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且圓心到直線的距離比大.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知軌跡與直線相交于兩點(diǎn).試問，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得是一個(gè)定值？如果存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定點(diǎn)，

【解析】

（1）利用拋物線的定義即可；

（2）假設(shè)在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，設(shè)，，由直線方程和拋物線方程聯(lián)立得到，，而，將根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得到答案.

（1）∵動圓過定點(diǎn)，且圓心到直線的距離比大，

∴動圓到直線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離，

∴動圓圓心的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，以定直線為準(zhǔn)線的拋物線，

∴動圓圓心的軌跡的方程是；

（2）假設(shè)在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得是一個(gè)定值，

設(shè)，由，且由條件知，

得，代入，消去得：，

恒成立，，，

，

若是一個(gè)定值，則，

故在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得.