Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處與直線y=b相切，求b的值；
（Ⅱ）若任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]均使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處與直線y=b相切，求b的值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$成立，設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
代入f（x）=xlnx，可得b=-$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$．
若存在x∈[$\frac{1}{e}$，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+$\frac{3}{x}$的最大值．
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，1）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
由h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，h（e）=2+e+$\frac{3}{e}$，
h（$\frac{1}{e}$）-h（e）=2e-$\frac{2}{e}$-4＞0，
可得h（$\frac{1}{e}$）＞h（e）．
所以，當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，h（x）的最大值為h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，
故a≤-2+$\frac{1}{e}$+3e．

點(diǎn)評(píng) 本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)求切線方程以及函數(shù)恒成立問題．當(dāng)a≥h（x）恒成立時(shí)，只需要求h（x）的最大值；當(dāng)a≤h（x）恒成立時(shí)，只需要求h（x）的最小值．