Question

3．已知函數(shù)$f（x）=a（2{cos^2}\frac{x}{2}+sinx）+b$（a＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）值域為[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）降次化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求出f（x）值域，即可得a，b的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=a（2{cos^2}\frac{x}{2}+sinx）+b$（a＞0）
化簡可得：f（x）=asinx+acosx+b+a=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a+b．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$2kπ-\frac{3π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}+2kπ$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$2kπ-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}+2kπ$]，k∈Z．
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，
可得：$x+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{2}a+a+b$．
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}a+a+b$．
由題意，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}a+a+b=4}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}a+a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故得當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）值域為[3，4]，此時a的值為$\sqrt{2}-1$，b的值為3．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．