Question

設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）為平面直角坐標系上的兩點，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=t（t∈Z），且|△x|•|△y|≠0，則稱點B為點A的“t-相關(guān)點”，記作：B=[ω（A）]_t．已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）為平面上一個動點，平面上點列{P_i}滿足：P_i=[ω（P_i-1）]_t，且點P_i的坐標為（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…，n．給出以下判斷，其中正確的是

 

①若點M為點A的“t-相關(guān)點”，則點A也為點M的“t-相關(guān)點”．
②若點M為點A的“t-相關(guān)點”，點N也為點A的“t-相關(guān)點”，則點M為點N的“t-相關(guān)點”．
③當t=3時，P₀的相關(guān)點有8個，且這8個點可能在一個圓周上，也可能不在一個圓周上；
④當t=3時，P₀與P_n重合，則n一定為偶數(shù)．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：①由新定義和加法的交換律，即可判斷；
②可舉點A（0，0），M（1，2），N（2，1），對照定義加以判斷；
③比如P₀（0，0），則列舉出所有的相關(guān)點，并判斷它們都在同一個圓周上；
④從反面考慮，若n為奇數(shù)，比如n=1，顯然不成立；n=3，可舉P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），由定義即可加以判斷．

解答： 解：①由新定義和加法的交換律，即可知①正確；
②可舉點A（0，0），M（1，2），N（2，1），則點M為點A的“3-相關(guān)點”，點N也為點A的“3-相關(guān)點”，但點M為點N的“2-相關(guān)點”，故②錯；
③當t=3時，P₀的相關(guān)點有8個，比如P₀（0，0），則相關(guān)點有（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，2），（2，1），（-2，1），（2，-1），（-2，-1）共8個，它們在一個圓周上，故③錯；
④當t=3時，P₀與P_n重合，若n為奇數(shù)，比如n=1，顯然不成立；n=3，可舉P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），則點P₁為點P₀的“3-相關(guān)點”，點P₂也為點P₁的“3-相關(guān)點”，但點P₃為點P₂的“6-相關(guān)點”，
故n一定為偶數(shù)，即④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查新定義及理解運用，注意運用列舉法，或從反面考慮，同時考查簡單的合情推理，是一道中檔題．