Question

已知橢圓C：

x2

3

+y²=1，圓O：x²+y²=4上一點A（0，2）．
（Ⅰ）過點A作兩條直線l₁、l₂都與橢圓C相切，求直線l₁、l₂的方程并判斷其位置關(guān)系；
（Ⅱ）有同學(xué)經(jīng)過探究后認(rèn)為：過圓O上任間一點P作橢圓C的兩條切線l₁、l₂，則直線l₁、l₂始終相互垂直，請問這位同學(xué)的觀點正確嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)切線方程為y=kx+2，代入橢圓方程并化簡，得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用△=0能求出直線l₁、l₂的方程并判斷其位置關(guān)系．
（Ⅱ）這位同學(xué)的觀點正確，即直線l₁、l₂始終相互垂直．當(dāng)過點P與橢圓C：

x2

3

+y2=1相切的一條切線的斜率不存在時，切線方程為x=±

3

，直線y=±1恰好為過點P與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l₁，l₂互相垂直；當(dāng)過點P（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-n=k（x-m），由

x2 3 +y2=1 y-n=k(x-m)

，得（1+3k²）x²+6k（n-mk）x+3（n-mk）²-3=0，由此利用根的判別式能推導(dǎo)出直線l₁、l₂始終相互垂直．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切線方程為y=kx+2，代入橢圓方程并化簡，
得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由于直線與橢圓相切，
∴△=144k²-36（1+3k²）=0，
解得k₁=1，k₂=-1，
∴兩切線方程分別為y=x+2，或y=-x+2，
∵k₁k₂=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂．
（Ⅱ）這位同學(xué)的觀點正確，即直線l₁、l₂始終相互垂直．
證明如下：
（i）當(dāng)過點P與橢圓C：

x2

3

+y2=1相切的一條切線的斜率不存在時，
此時切線方程為x=±

3

，
∵點P在圓O：x²+y²=4上，則P（±

3

，±1），
∴直線y=±1恰好為過點P與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l₁，l₂互相垂直．
（ii）當(dāng)過點P（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，
設(shè)切線方程為y-n=k（x-m），
由

x2 3 +y2=1 y-n=k(x-m)

，
得（1+3k²）x²+6k（n-mk）x+3（n-mk）²-3=0，
由于直線與橢圓相切，
∴△=36k²（n-mk）²-4（1+3k²）[3（n-mk）²-3]=0，
整理，得（m²-3）k²-2mnk+（n²-1）=0，
∴k1k2=

n2-1

m2-3

，
∵P（m，n）在圓x²+y²=4上，∴m²+n²=4，
∴m²-3=1-n²，
∴k₁k₂=-1，∴兩直線互相垂直．
綜上所述，直線l₁、l₂始終相互垂直．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查兩直線始終垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．