Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$，求函數(shù)g（x）的最大值及對(duì)稱(chēng)軸．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x），再由輔助角公式化積，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$得到g（x）的解析式，直接求得函數(shù)的最大值及對(duì)稱(chēng)軸方程．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，
得f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}sinx+cosx$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4π}{3}+2kπ$]，k∈Z；
（2）$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$=2sinx+1．
∴g（x）_max=3．
其對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．