Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，且點(diǎn)M（1，e）在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率，A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得$a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，點(diǎn)M（1，e）代入橢圓，由此能求出橢圓方程．
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用配方法可求最值，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
且點(diǎn)M（1，e）在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對(duì)稱性不妨記A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時(shí)S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$，
同理，如果AB⊥y軸，由對(duì)稱性不妨記A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時(shí)S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
∴△AOB面積S≥$\frac{3}{4}$．
如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，又△=36k²m²-4（1+3k²） （3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，①
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x1-x2|及|AB|=$\sqrt{3}$得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，②
結(jié)合①，②得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
∴S2=$\frac{3}{4}$•$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{16}$（$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-2）²+$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
故S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=2，即k=±1時(shí)上式取等號(hào)．
綜上，△AOB面積的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．