Question

14．設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求證：對(duì)于x≠0，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先求出f（x）的定義域，判斷可得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而將f（x）變形為f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函數(shù)的定義可得答案．
（2）先證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x＞0，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，問(wèn)題得證．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x，
必有a^x-1≠0，解可得x≠0，
則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由于：f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x，
又由于：f（-x）=-$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$×（-x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)，…（5分）
（2）由于a＞1，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x；
所以：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x＞0；         
由于，f（x）為偶函數(shù)，…（8分）
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，…（9分）
因此，對(duì)于任意x≠0，都有f（x）＞0．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該先求出函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)不具有奇偶性，若對(duì)稱，再檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系，屬于中檔題．