Question

19．從7名男同學和5名女同學中選出5人，分別求符合下列條件的選法各有多少種？
（1）A，B同學必須當選；
（2）A，B同學都不當選；
（3）A，B同學不全當選；
（4）至少有2名女同學當選；
（5）選出3名男同學和2名女同學，分別擔任體育委員、文娛委員等五種不同的工作，但體育委員必須由男同學擔任，文娛委員必須由女同學擔任．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先選出A、B，再從其它10個人中再選3人即可，由組合數(shù)公式計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，只需從其它10人中任選5人即可，由組合數(shù)公式計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，按A、B的選取情況進行分類：①，A、B全不選，②，A、B中選1人，先求出每種情況的選法數(shù)目，再由分類計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，用間接法，先計算從12人中任選5人的選法數(shù)目，再分別計算①沒有女學生入選，②只有1名女生入選，在總數(shù)中將其排除即可得答案；
（5）根據(jù)題意，分3步進行，①選出一個男生擔任體育班委，②再選出1名女生擔任文娛班委，③剩下名6男生再選2人，4名女生中再選取1人，任其它3個班委，先求出每一步的選法數(shù)目，再用分步計數(shù)原理可得即可得答案

解答 解：（1）根據(jù)題意，先選出A、B，再從其它10個人中再選3人即可，共有的選法種數(shù)為C₁₀³=120種，
（2）根據(jù)題意，A、B都不當選，只需從其它10人中任選5人即可，共有的選法種數(shù)為C₁₀⁵=252種：
（3）根據(jù)題意，按A、B的選取情況進行分類：
①，A、B全不選的方法數(shù)為C₁₀⁵=252種，
②，A、B中選1人的方法數(shù)為C₂¹C₁₀⁴=420，
共有選法252+420=672種，
（4）根據(jù)題意，從12人中任選5人，有C₁₂⁵種選法，
沒有女學生入選，即全選男生的情況有C₇⁵種情況，
只有1名女生入選，即選取1女4男，有C₅¹×C₇⁴種選法，
故所有符合條件選法數(shù)為：C₁₂⁵-C₇⁵-C₅¹×C₇⁴=596種，
（5）選出一個男生擔任體育班委，有C₇¹種情況，
再選出1名女生擔任文娛班委，有C₅¹種情況，
剩下名6男生再選2人，4名女生中再選取1人，任其它3個班委，有C₆²×C₄¹×A₃³種情況，
用分步計數(shù)原理可得到所有方法總數(shù)為：C₇¹×C₅¹×C₆²×C₄¹×A₃³=12600種．

點評 本題考查排列、組合的應用，涉及分類、分步計數(shù)原理的運用，解（4）題時注意間接方法的運用，可以避免分類討論．