Question

8．設(shè)正數(shù)x，y，z滿足不等式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}}{2xy}$+$\frac{{y}^{2}+{z}^{2}-{x}^{2}}{2yz}$+$\frac{{z}^{2}+{x}^{2}-{y}^{2}}{2zx}$＞1，求證：x，y，z是某個三角形的三邊的長．

Answer 1

分析 由題意，轉(zhuǎn)化為（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）＞0，由對稱性不妨設(shè)x≥y≥z，則有x+y-z≥x＞0，z+x-y≥z＞0，得到y(tǒng)+z-x＞0，即可證明．

解答 證明：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}}{2xy}$+$\frac{{y}^{2}+{z}^{2}-{x}^{2}}{2yz}$+$\frac{{z}^{2}+{x}^{2}-{y}^{2}}{2zx}$＞1，x＞0，y＞0，z＞0，兩邊同乘以2xyz，
∴z（x²+y²-z²）+x（y²+z²-x²）+y（z²+x²-y²）＞2xyz，
∴zx²+zy²-z³+xy²+xz²-x³+yz²+yx²-y³-2xyz＞0，
∴（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）＞0，
由對稱性不妨設(shè)x≥y≥z，則有x+y-z≥x＞0，z+x-y≥z＞0，
∴y+z-x＞0，
∴x，y，z是某個三角形的三邊的長．

點評 本題考查了不等式的性質(zhì)和三角形的兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．