Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足

Sn

n

=

2an

n

+1，則f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A、-3
• B、-2
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，從而a₁=-1，且S_n=2a_n+n，進而a₅=-31，a₆=-63，由此能求出f（a₅）+f（a₆）的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∵f（

3

2

-x）=f（x），
∴f（

3

2

-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1，
∴a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)的奇偶性、周期性、數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．