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8.在三棱錐P-ABC中,底面ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,BC=2,PA⊥平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為8π,則該三棱錐的體積為( �。�
A.29B.229C.23D.429

分析 由題意畫出圖形,設(shè)出底面三角形的外心G,找出三棱錐P-ABC的外接球的球心O,通過求解直角三角形得到三棱錐的高,則答案可求.

解答 解:如圖
取BC中點(diǎn)為E,連接AE,
∵底面ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,BC=2,
∴△ABC的外心G在AE上,設(shè)為G,取AB中點(diǎn)F,連接GF,
在Rt△AEB中,由BE=1,∠BAE=60°,得AF=12AB=\frac{1}{2}×\frac{1}{sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{3},
又在Rt△AFG中,得AG=\frac{AF}{cos60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
過G作PA的平行線與PA的中垂線HO交于O,
則O為三棱錐P-ABC的外接球的球心,即R=OA,
由4πR2=8π,得R=\sqrt{2}
∵PA⊥平面ABC,∴OG⊥AG,
在Rt△AGO中,求得OG=\sqrt{{R}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},
∴三棱錐P-ABC的高PA=2OG=\frac{2\sqrt{6}}{3},
則三棱錐的體積為V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,考查空間想象能力和思維能力,考查計(jì)算能力,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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