Question

18．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）使用三角形的內(nèi)角和公式和二倍角公式化簡式子，得出關(guān)于cosC的方程；
（II）根據(jù)正弦定理得出a-b=sinA-sinB，消去B，得到關(guān)于A的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和A的范圍求出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C=π，
∴sin²$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1-cos（A+B）}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$．
∵4sin²$\frac{A+B}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$，
∴2（1+cosC）-（2cos²C-1）=$\frac{7}{2}$，即4cos²C-4cosC+1=0，
解得cosC=$\frac{1}{2}$．
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=1$，
∵a-b=sinA-sinB=sinA-sin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=sin（A-$\frac{π}{3}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）．
∴sin（A-$\frac{π}{3}$）＜sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sin（A-$\frac{π}{3}$）＞sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a-b的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．