【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,不等式:f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的范圍.
(3)設(shè)g(t)=f(2t+a),t∈[﹣1,1],求g(t)的最大值.
【答案】(1);(2);(3)詳見解析。
【解析】
試題分析:(1)由于函數(shù)為二次函數(shù),所以設(shè),由得,則轉(zhuǎn)化為,整理得:,于是根據(jù)待定系數(shù)法有:,所以,則;(2)由(1)知,當(dāng)時,不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,則只需,當(dāng)時,為減函數(shù),所以,所以;(3),對稱軸為,函數(shù)為開口向上的拋物線,分析可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值應(yīng)在區(qū)間端點處取得。于是可以分和兩種情況討論即可。
試題解析:(1)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由得,代入f(x+1)﹣f(x)=2x,
得:a(x+1)2+b(x+1)+c﹣(ax2+bx+c)=2x,2ax+a+b=2x,即2a=2,a+b=0,所以,
∴f(x)=x2﹣x+1;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,f(x)>2x+m恒成立即:x2﹣3x+1>m恒成立;
令,
x∈[﹣1,1],
則對稱軸:,
則g(x)min=g(1)=﹣1,
∴m<﹣1;
(3)g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a﹣2)t+a2﹣a+1,t∈[﹣1,1]
對稱軸為:,
①當(dāng)時,即:;如圖1:
g(t)max=g(﹣1)=4﹣(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2﹣5a+7
②當(dāng)時,即:;如圖2:
g(t)max=g(1)=4+(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2+3a+3,
綜上所述:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品, 其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若毎噸產(chǎn)品平均出廠價為萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某天甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中的微量元素的含量(單位:毫克).當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足,且時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品.已知甲廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
169 | 178 | 166 | 175 | 180 | |
75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
(1)求乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;
(3)從乙廠抽出取上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品至少有1件的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定點,動點在圓:上,線段的中垂線為直線,直線交直線于點,動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若點在第二象限,且相應(yīng)的直線與曲線和拋物線:都相切,求點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】編輯如下運算程序:,,.
(1)設(shè)數(shù)列{}的各項滿足,求;
(2)由(1)猜想{}的通項公式;
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若的展開式中,第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)此展開式中是否有常數(shù)項,為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有( )
A.10種
B.20種
C.36種
D.52種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分又不必要條件”中,選出恰當(dāng)?shù)囊环N填空:“a=0”是“函數(shù)f(x)=x2+ax(x∈R)為偶函數(shù)”的 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若命題P:所有的對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù),則¬P為( )
A.所有對數(shù)函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)
B.所有的單調(diào)函數(shù)都不是對數(shù)函數(shù)
C.存在一個對數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)
D.存在一個單調(diào)函數(shù)都不是對數(shù)函數(shù)
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