Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+

1

2

x²-ax+1（a＞0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的函數(shù)值，即為切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式寫出方程，
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0解得x的范圍，即是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）＜0解得x的范圍，即是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而求出極值．

解答： 解：（1）f（0）=1，f′（x）=

a

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，f′（0）=0
∴函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），令f′（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，解得x=0，x=a-1
∵a＞1，∴a-1＞0
當(dāng)x∈（-1，0）和（a-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，a-1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a-1），
極大值為f（0）=1，極小值為f（a-1）=alna-

1

2

a2+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題．