Question

已知拋物線M：y²=2px（ p＞0 ）上一個(gè)橫坐標(biāo)為-3的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)P（2，0）且與x軸垂直的直線l₁與拋物線M相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且與x軸不垂直的直線l₂與拋物線M相交于C、D兩點(diǎn)，直線BC與DA相交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求拋物線M的方程；
（Ⅱ）請判斷點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

p

2

-（-3）=4，由此能求出拋物線M的方程．
（Ⅱ）直線y=k（x-2）恒過定點(diǎn)P（2，0），為拋物線的焦點(diǎn)F，聯(lián)立可得：k²x²+4（k²+1）x+4k²=0設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），設(shè)點(diǎn)E為（m，0），依據(jù)題意有

y1

x1-m

=-

y2

x2-m

，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為定值2．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=-2px開口向左，對稱軸為x軸
橫坐標(biāo)x=-3上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則到準(zhǔn)線x=

p

2

的距離也是為4
所以：

p

2

-（-3）=4，
解得：p=2，
拋物線M的方程y²=-4x．
（Ⅱ）直線y=k（x-2）恒過定點(diǎn)P（2，0），為拋物線的焦點(diǎn)F，
聯(lián)立可得：y²=（k²）（x+2）²=-4x，
整理得：k²x²+4（k²+1）x+4k²=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
根據(jù)韋達(dá)定理有：
x₁+x₂=-

4(k2+1)

k2

=-4-

4

k2

，x₁x₂=4
x軸是∠AMB的平分線，則直線MB和MA的斜率互為相反數(shù)
設(shè)點(diǎn)E為（m，0）
依據(jù)題意有：kmb=-kma

y1

x1-m

=-

y2

x2-m

，

k(x1+2)

x1-m

=-

k(x2+2)

x2-m

，
顯然，k=0時(shí)，y=0與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意
所以：

x1+2

x1-m

=-

x2+2

x2-m

，
x₁x₂-mx₁+2x₂-2m=-x₁x₂-2x₁+mx₂+2m
2x₁x₂-（x₁+x₂+4）m+2（x₁+x₂）=0
8-（-

4

k2

）m-8-

8

k2

=0
所以：

4m

k2

-

8

k2

=0
所以：4m-8=0時(shí)恒成立
解得：m=2
所以：定點(diǎn)E為（2，0）．點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為定值2．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．