Question

在下列函數(shù)中．在[0，3]上是增函數(shù)且是偶函數(shù)的函數(shù)是（　�。�

• A、y=3^x+3^-x
• B、y=-|x-3|
• C、y=log₂

  3-x

  3+x

• D、y=cosx

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，偶函數(shù)的定義，余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個選項的正誤．

解答： 解：A．y′=ln3（3^x-3^-x）；
∵x∈[0，3]；
∴3^x≥1，3^-x≤1；
∴y′≥0；
∴該函數(shù)在[0，3]上是增函數(shù)，并且該函數(shù)是偶函數(shù)；
所以該選項正確；
B．設(shè)y=f（x），f（-1）=-4，f（1）=-2；
顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)；
∴該選項錯誤；
C．設(shè)y=f（x），則：
f（-x）=log2

3+x

3-x

=-log2

3-x

3+x

=-f(x)；
∴該函數(shù)不是偶函數(shù)，所以該選項錯誤；
D．y=cosx在[0，π]上是減函數(shù)；
∴該函數(shù)在[0，3]上是減函數(shù)，所以該選項錯誤．
故選A．

點評：考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，偶函數(shù)的定義，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性．