Question

（2012•黃岡模擬）某車站每天上午發(fā)出兩班客車，每班客車發(fā)車時(shí)刻和發(fā)車概率如下：
第一班車：在8：00、8：20、8：40發(fā)車的概率分別為

1

4

，

1

2

，

1

4

；
第二班車：在9：00、9：20、9：40發(fā)車的概率分別為

1

4

，

1

2

，

1

4

；
兩班車發(fā)車時(shí)刻是相互獨(dú)立的，一位旅客8：10到達(dá)車站乘車
求：（1）該旅客乘第一班車的概率；
（2）該旅客候車時(shí)間（單位：分鐘）的分布列；
（3）該旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個(gè)事件是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率．
（2）由題意知候車時(shí)間X的可能取值是10，30，50，70，90，根據(jù)條件中所給的各個(gè)事件的概率，和兩班客車發(fā)出時(shí)刻是相互獨(dú)立的，得到各個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列．
（3）根據(jù)上一問(wèn)做出的分布列，代入求概率的公式，求出隨機(jī)變量的期望值，得到旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個(gè)事件是互斥的，
根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率為P=

1

2

+

1

4

=

3

4

．
（2）由題意知候車時(shí)間X的可能取值是10，30，50，70，90
根據(jù)條件中所給的各個(gè)事件的概率，得到
P（X=10）=

1

2

，P（X=30）=

1

4

，P（X=50）=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
P（X=70）=

1

4

×

1

2

=

1

8

，P（X=90）=

1

16

，
∴旅客候車時(shí)間的分布列為：

候車時(shí)間X（分）	10	30	50	70	90
概率	1 2	1 4	1 16	1 8	1 16

（3）候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為
10×

1

2

+30×

1

4

+50×

1

16

+70×

1

8

+90×

1

16

=30．
即這旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是30分鐘．

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望值，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．