Question

已知f（x）=（x-1）lnx-2，g（x）=lnx-x²+ax．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）若對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=lnx+

x-1

x

=lnx+1-

1

x

，在[t，t+1]（t＞0）上單調(diào)遞增，f′（1）=0．當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥f′（1）=0，即可得出f（x）在[t，t+1]（t＞0）上單調(diào)性與最小值；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，1＜t+1＜2，利用其單調(diào)性即可得出最小值；
（2）g（x）+f（x）≤0，即h（x）=xlnx-x²+ax-2≤0．由對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立，?a≤x-lnx+

2

x

=h（x），x∈（0，+∞）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+

x-1

x

=lnx+1-

1

x

，在[t，t+1]（t＞0）上單調(diào)遞增，f′（1）=0．
當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥f′（1）=0，∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（t）=（t-1）lnt-2．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，1＜t+1＜2，當(dāng)x∈（t，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，t+1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=-2．
（2）g（x）+f（x）≤0，即h（x）=xlnx-x²+ax-2≤0．
由對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立?a≤x-lnx+

2

x

=h（x），x∈（0，+∞）．
h′（x）=1-

1

x

-

2

x2

=

(x-2)(x+1)

x2

，
當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值h（2）=3-ln2．
∴a≤3-ln2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3-ln2]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、分類討論思想方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．