Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2ⁿ，b_n=3ⁿ，若c_n=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁，則數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出c_n+1=a₁b_n+1+…+a_n+1b₁=5c_n-6c_n-1，進(jìn)一步對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，整理出cn+1-2cn=18•3n-1，和cn+1-3cn=12•2n-1=3•2n+1，最后把兩個(gè)關(guān)系式整合出結(jié)果．

解答： 解：數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2ⁿ，b_n=3ⁿ，
則：c₁=a₁b₁=2×3=6，
c₂=a₁b₂+a₂b₁=2×9+4×3=30，
所以：c_n+1=a₁b_n+1+…+a_n+1b₁
=3（a₁b_n+…+a_nb₁）+2（a₁b_n+…+a_nb₁）-6（a₁b_n-1+…+a_n-1b₁）
=5c_n-6c_n-1
則：c_n+1-2c_n=3（c_n-2c_n-1），
又因?yàn)椋篶₂-2c₁=18，
所以：cn+1-2cn=18•3n-1①
同時(shí)，c_n+1-3c_n=2（c_n-3c_n-1）
由于：c₂-3c₁=12
cn+1-3cn=12•2n-1=3•2n+1②
所以：①-②得：cn=2•3•3n-3•2•2n=6(3n-2n)
故答案為：c_n=6（3ⁿ-2ⁿ）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，湊配法在數(shù)列通項(xiàng)公式求法中的應(yīng)用，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用．