Question

2．如圖，已知四邊形ADEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形且AB⊥AD，AB∥CD，M、N、P分別為EC、FC、FB的中點．
（Ⅰ）求證：MP∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面MNP⊥平面EDC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用三角形的中位線定理，運用線面平行的判定定理，可得平面MNP∥平面ABCD，再由性質(zhì)定理即可得證；
（Ⅱ）運用矩形的定義和直角梯形的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得MN⊥平面ECD，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）由M，N分別為EC，F(xiàn)C的中點，可得
MN∥EF，又EF∥AD，即有MN∥AD，
MN?平面ABCD，AD?平面ABCD，
可得MN∥平面ABCD；
同理可得NP∥平面ABCD，
又MN∩NP=N，且MN，NP?平面MNP，
可得平面MNP∥平面ABCD，
由MP?平面MNP，
可得MP∥平面ABCD；
（Ⅱ）由矩形ADEF可得AD⊥DE，
由ABCD為直角梯形，且AB⊥AD，
可得AD⊥DC，
即有AD⊥平面ECD，
由AD∥MN，可得MN⊥平面ECD，
由MN?平面MNP，可得
平面MNP⊥平面EDC．

點評 本題考查線面平行的判定，注意運用面面平行的性質(zhì)定理，考查面面垂直的判定，注意運用判定定理，同時考查線面和面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查空間想象能力和邏輯推理的能力，屬于中檔題．