Question

14．（1）當(dāng)x∈[3，7）時，求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）+1值域
（2）當(dāng)x∈（0，2）時，求y=4^x-2^x+2值域．

Answer 1

分析 （1）由x的范圍可以得出x+1的范圍，根據(jù)對數(shù)函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$的單調(diào)性便可得出$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）$的范圍，進一步便可得出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）配方得到y(tǒng)=（2^x-2）²-4，由x的范圍可以求出2^x的范圍，而根據(jù)2^x的范圍即可得出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵x∈[3，7]；
∴x+1∈[4，8]；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}4≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）≤lo{g}_{\frac{1}{2}}8$；
即$-3≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）≤-2$；
∴-2≤y≤-1；
∴該函數(shù)的值域為[-2，-1]；
（2）y=（2^x）²-4•2^x=（2^x-2）²-4；
∵x∈（0，2）；
∴2^x∈（1，4）；
∴（2-2）²-4≤y＜0；
即-4≤y＜0；
∴該函數(shù)的值域為[-4，0）．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，配方求二次式子的范圍的方法．