18.已知?jiǎng)訄AP(P為圓心)經(jīng)過點(diǎn)N(${\sqrt{3}$,0),并且與M:(x+$\sqrt{3}}$)2+y2=16相切.
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與曲線E相交于點(diǎn)C,D,并且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$,求直線l的方程.

分析 (I)利用圓的相切的性質(zhì)、橢圓的定義即可得出.
(II)經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),題目條件不成立,所以直線l存在斜率,設(shè)直線l:y=kx+2.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2+16kx+12=0.△>0,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y)為所求曲線上任意一點(diǎn),并且⊙P與⊙M相切于點(diǎn)B,
則|PM|+|PN|=|PM|+|PB|=4.
所以點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.
(Ⅱ)經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),題目條件不成立,所以直線l存在斜率,
設(shè)直線l:y=kx+2.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.⇒({1+4{k^2}}){x^2}+16kx+12=0$,
△=(16k)2-4(1+4k2)•12>0,得${k^2}>\frac{3}{4}$.
${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$…①,${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…②,
又由$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$,得${x_1}=\frac{3}{5}{x_2}$,
將它代入①,②得k2=1,k=±1(滿足${k^2}>\frac{3}{4}$),
所以直線l的斜率為k=±1,所以直線l的方程為y=±x+2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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