10.已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對稱,則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象的一條對稱軸是( 。
A.x=$\frac{5π}{6}$B.x=$\frac{2π}{3}$C.x=$\frac{π}{3}$D.x=$\frac{π}{6}$

分析 函數(shù)y=sinx+acosx變?yōu)閥=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin(x+φ),tanφ=a又圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對稱,$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$,由此可求得a=tanφ=tan(kπ+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,將其代入函數(shù)y=asinx+cosx化簡后求對稱軸即可.

解答 解:y=sinx+acosx變?yōu)閥=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin(x+φ),(令tanφ=a)
又∵圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對稱,
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,
可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$,
由此可求得a=tanφ=tan(kπ+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin(x+θ),(tanθ=$\sqrt{3}$)
其對稱軸方程是x+θ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,
即x=kπ+$\frac{π}{2}$-θ
又tanθ=$\sqrt{3}$,故θ=k1π+$\frac{π}{3}$,k1∈z
故函數(shù)y=asinx+cosx的圖象的對稱軸方程為x=(k-k1)π+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=(k-k1)π+$\frac{π}{6}$,k-k1∈z,
當(dāng)k-k1=0時(shí),對稱軸方程為x=$\frac{π}{6}$,
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查三角恒等變形以及正弦類函數(shù)的對稱性質(zhì),是三角函數(shù)中綜合性比較強(qiáng)的題目,比較全面地考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

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