Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)m＞0，那么該函數(shù)在（0，

m

]上是減函數(shù)，在[

m

，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）上是增函數(shù)，則2^b=16，可求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）分類討論，確定合適的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，h（1）-h（2）=

c-2

2

，分類討論求函數(shù)h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）上是增函數(shù)，
∴2^b=16，則b=4；┅┅┅┅（2分）
（Ⅱ）y=x+

2

x

在區(qū)間(0，

2

]遞減，在[

2

，+∞)遞增，┅┅┅┅（3分）
∴0＜a≤

2

-1時(shí)，y_min=

a2+2a+3

a+1

；

2

-1＜a≤

2

時(shí)，y_min=2

2

；

2

＜a時(shí)，y_min=a+

2

a

；，┅┅┅┅（7分）
（Ⅲ）∵c∈[1，4]，∴

c

∈[1，2]，∵h(yuǎn)（1）-h（2）=

c-2

2

，┅┅┅┅（8分）
當(dāng)1≤c＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是h（2）=2+

c

2

；┅┅┅┅（10分）
當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是h（1）=f（2）=3；┅┅┅┅（11分）
當(dāng)2＜c≤4時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是h（1）=1+c┅┅┅┅（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．