Question

12．如圖：四邊形ABCD為等腰梯形，且AD∥BC，E為BC中點(diǎn)，AB=AD=BE．現(xiàn)沿DE將△CDE折起成四棱錐C′-ABED，點(diǎn)O為ED的中點(diǎn)．
（1）在棱AC′上是否存在一點(diǎn)M，使得OM⊥平面C′BE？并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=2，求四棱錐C′-ABED的體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）底面ABED的面積不變?yōu)?$\sqrt{3}$．當(dāng)平面C'ED⊥平面ABED時(shí)，錐體的高最大，根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）存在，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，OM⊥平面C′BE．
取BC'的中點(diǎn)F，連結(jié)MF，F(xiàn)E．
∵M(jìn)F為△ABC'的中位線．
∴MF∥AB，MP=$\frac{1}{2}$AB，
又AB∥ED，AB=ED，O為ED中點(diǎn)，
∴MF∥EO，MF=EO．
∴四邊形EFMO為平行四邊形．
∴MO⊥EF．
而EF?平面BEC'，OM?平面BEC'，
∴OM⊥平面BEC'．
（2）∵底面ABED的面積不變?yōu)?$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)平面C'ED⊥平面ABED時(shí)，錐體的高最大．
即C'O⊥平面ABED時(shí)，體積最大，此時(shí)OC'=$\sqrt{3}$，
∴最大體積為$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判定以及空間幾何體的體積的計(jì)算，關(guān)系相應(yīng)的判定定理以及錐體的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．