Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|2x+t|，t∈R．
（1）當(dāng)t=1時，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在實數(shù)a滿足f（a）+|a-3|＜2，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=1時，根據(jù)絕對值不等式的解法，討論x的取值范圍即可解不等式f（x）≥5；
（2）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為[f（a）+|a-3|]_min＜2成立，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時，f（x）=|x-3|+|2x+1|，
由f（x）≥5得|x-3|+|2x+1|≥5，
當(dāng)x≥3時，不等式等價為x-3+2x+1≥5，即3x≥7，得x≥$\frac{7}{3}$，此時x≥3，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜3時，不等式等價為-（x-3）+2x+1≥5，即x≥1，此時1≤x＜3，
當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時，不等式等價為3-x-2x-1≥5，解集x≤-1，得x≤-1，
綜上此時x≥1，或x≤-1，即不等式的解集為（-∞，-1]∪[1，+∞）
（2）f（a）+|a-3|=2|a-3|+|2a+t|≥|2a+t-（2a-6）|=|t+6|，
則命題f（a）+|a-3|＜2，等價為[f（a）+|a-3|]_min＜2，
即|t+6|＜2，
則-2＜t+6＜2，即-8＜t＜-4，
即t的取值范圍是（-8，-4）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法和應(yīng)用，注意要討論x的取值范圍，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式進(jìn)行求解．