Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-

1

3

x³的導函數(shù)f′（x）＞-1在區(qū)間（0，1）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可．

解答： 解：函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=

a

x+1

-x²，
若f′（x）＞-1在區(qū)間（0，1）上恒成立，
則

a

x+1

-x²＞-1在區(qū)間（0，1）上恒成立，
即

a

x+1

＞x²-1，
即a＞（x²-1）（x-1）在區(qū)間（0，1）上恒成立，
設g（x）=（x²-1）（x-1），
則g′（x）=（x-1）（3x+1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）=（x²-1）（x-1）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，
則0＜g（x）＜1，
則a≥1，
故答案為：[1，+∞）

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用參數(shù)分離法將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．