Question

已知x，y＞0，xy+1=2x-y，若對于滿足條件的任意x，y有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，2]
• B、（-∞，

  26

  5

  ]
• C、（-∞，2]
• D、[2，

  26

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可令t=x+y，然后代入已知條件，將t用x表示出來，并結(jié)合已知求出t的范圍，再利用分離參數(shù)法將所求的a分離出來，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)的最值問題來求．

解答： 解：令t=x+y，則y=t-x，代入xy+1=2x-y化簡得：
t=

x2+3x-1

x+1

=(x+1)-

3

x+1

+1，又xy+1=2x-y得y=

2x-1

x+1

＞0，所以x＞

1

2

，
再令m=x+1＞

3

2

，則t=m-

3

m

+1，（m＞

3

2

），易知該函數(shù)為定義域（

3

2

，+∞）上的增函數(shù)，所以t＞

1

2

．
則問題轉(zhuǎn)化為t2-at+1≥0，(t＞

1

2

)恒成立．
即a≤t+

1

t

，（t＞

1

2

）恒成立，因?yàn)閥=t+

1

t

在（

1

2

，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，所以當(dāng)t=1時，（t+

1

t

）_min=2，
故a≤2為所求．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了不等式恒成立問題的解題思路，此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找準(zhǔn)x，y的范圍，進(jìn)一步求出t的范圍．