Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值

1

e

，試求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=a（x-1）e^x-f（x），g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若存在x₀∈（1，+∞），使g（x₀）+g′（x₀）=0成立，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再由函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值

1

e

，得

f(-1)= 1 e f′(-1)=0

，代入求解參數(shù)a，b，然后利用令f′（x）≥0和f′（x）＜0求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將f（x）代入g（x）化簡(jiǎn)，再求g′（x），然后得g（x₀）+g′（x₀），令其為0，得

b

a

=

(2x-3)x2

2x-1

，令h（x）=

(2x-3)x2

2x-1

，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求h（x）在區(qū)間（1，+∞）上的值域，利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答： 解；（1）由題意f（x）=

ax+b

x

e^x=（a+

b

x

）e^x，
∴f′（x）=[（a+

b

x

）e^x]′═（a+

b

x

）′e^x+（a+

b

x

）（e^x）′=（-

b

x2

+

b

x

+a）e^x，
由函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值

1

e

，得

f(-1)= 1 e f′(-1)=0

，即

a+b=1 a-2b=0

，解得

a=2 b=1

，
則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

2x+1

x

e^x，定義域?yàn)閧x|x≠0}，
f′（x）=（-

1

x2

+

1

x

+2）e^x=-（

1

x

-2）（

1

x

+1）e^x，
又e^x＞0對(duì)x∈R恒成立，
令f′（x）≥0則有-

1

x2

+

1

x

+2≥0，解得-1≤

1

x

≤2，且

1

x

≠0，即x≤-1或x≥

1

2

；
同理令f′（x）＜0可解得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

；
綜上，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1]和[

1

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）和（0，

1

2

）．
（2）由題意g（x）=a（x-1）e^x-f（x）=a（x-1）e^x-

ax+b

x

e^x=axe^x-2ae^x-b

ex

x

，
則g′（x）=axe^x-ae^x-b

xex-ex

x2

，
∴g（x）+g′（x）=2axe^x-3ae^x-b

2xex-ex

x2

=e^x（2ax-3a-b

2x-1

x2

），
由條件存在x₀∈（1，+∞），使g（x₀）+g′（x₀）=0成立得2axe^x-3ae^x-b

2xex-ex

x2

=0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
又∵e^x＞0
∴2ax-3a-b

2x-1

x2

=0對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
化簡(jiǎn)得

b

a

=

(2x-3)x2

2x-1

，令h（x）=

(2x-3)x2

2x-1

，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求h（x）在區(qū)間（1，+∞）上的值域，
求導(dǎo)得h′（x）=

2x(4x2-6x+3)

(2x+1)2

，
令y=4x²-6x+3，為二次函數(shù)，圖象開(kāi)口向上，△=-12＜0，則4x²-6x+3＞0，又x＞0，
則h′（x）＞0，h（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，+∞），
所以

b

a

的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性和最值求解中的綜合應(yīng)用，屬于比較復(fù)雜的問(wèn)題，注意利用轉(zhuǎn)化的思想求解問(wèn)題．