Question

12．已知函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)f（x）有最小值時(shí)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=f（sinx）-2存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)f（x）有最小值時(shí)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可求a的取值范圍；
（3）利用換元法，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2|x-2|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-4，}&{x≥2}\\{-x+4，}&{x＜2}\end{array}\right.$…（2分）
所以，f（x）在（-∞，2）遞減，在[2，+∞）遞增，
故最小值為f（2）=2； …（4分）
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）x-4，}&{x≥2}\\{（a-2）x+4，}&{x＜2}\end{array}\right.$，…（6分）
要使函數(shù)f（x）有最小值，需$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
∴-2≤a≤2，…（8分）
故a的取值范圍為[-2，2]．　…（9分）
（3）∵sinx∈[-1，1]，∴f（sinx）=（a-2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）-2=（a-2）sinx+2存在零點(diǎn)”等價(jià)于“方程（a-2）sinx+2=0有解”，
亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解，
∴$-1≤-\frac{2}{a-2}≤1$，…（11分）
解得a≤0或a≥4，…（13分）
∴a的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．