Question

已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），當-2≤x＜0時，f（x）=2^x，則f（2013）=________．

Answer 1

分析：先由f（x）的奇偶性及f（2+x）=f（2-x）推出其周期，再化簡f（2013），最終把自變量的值轉(zhuǎn)化到區(qū)間[-2，0]上計算．
解答：∵y=f（x）是奇函數(shù)，∴f（2+x）=f（2-x）=-f（x-2），
由此可得f（x+4）=-f（x），∴f（x+8）=-f（x+4）=-[-f（x）]=f（x）．
所以f（x）是周期函數(shù)，且T=8為其周期，
∴f（2013）=f（5+251×8）=f（5）=f（2+3）=f（2-3）=f（-1），
又當-2≤x＜0時，f（x）=2^x，所以f（-1）=2^-1=．
故答案為：．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及圖象的對稱性，解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的周期．一般說來，若自變量的值特別大，往往利用函數(shù)周期性求解．