Question

已知f(x)=4x+ax²-x³（x∈R）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x³的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2ax-2x²，
∵f(x)在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立， ①
設(shè)ψ(x)=x²-ax-2，
①，
∵對(duì)x∈[-1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0，
∴A={a|-1≤a≤1}；
（Ⅱ）由，得x=0或，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實(shí)根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|==，
∵-1≤a≤1，
∴|x₁-x₂|=≤3，
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立， ②
設(shè)g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2)，
②g(-1)=m²-m-2≥0且g(1)=m²+m-2≥0，m≥2或m≤-2，
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范圍是{m|m≥2或m≤-2}。