Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間
（2）若a=2，求證：直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．

Answer 1

分析：（1）先求出導數(shù)fˊ（x），然后討論a的正負，分別在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）假設直線3x-y+m=0是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．設切點為（x₀，y₀），然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立方程，而方程無解，總而說明直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．

解答：解：（1）f′(x)=

a(1-x2)

(x2+1)2

（3分）
當a＞0時，f'（x）＞0?-1＜x＜1，f'（x）＜0?x＜-1或x＞1
遞增區(qū)間為（-1，1），遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1+∞）（5分）
當a＜0時，遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1+∞），遞減區(qū)間為（-1，1）（7分）
（2）f′(x)=

2(1-x2)

(x2+1)2

假設直線3x-y+m=0是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．設切點為（x₀，y₀）
則f′(x0)=3，

2(1-x0 2)

(x0 2+1)2

=3，3x0 4+8x0 2+1=0（10分）
而3x₀⁴+8x₀²+1≥1從而此方程無解
∴直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．（13分）

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，以及切線方程的求解，屬于中檔題．