Question

20．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（1）分別求出A，ω，ϕ并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1的解集．

Answer 1

分析 （1）由題意和圖象可得A值，由周期公式可得ω，代入點（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$）結(jié)合角的范圍可得；
（2）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；
（3）原不等式可化為-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，結(jié)合函數(shù)的圖象可得．

解答 解：（1）由題意和圖象可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{12}$，解得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+ϕ），代入點（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$）可得$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}$+ϕ），
∴$\frac{π}{6}$+ϕ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得ϕ=2kπ+$\frac{π}{3}$，結(jié)合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$可得ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（3）不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1可化為-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
變形可得-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{9π}{4}$，
解得kπ+$\frac{5π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{23π}{24}$，k∈Z
∴不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1的解集為[kπ+$\frac{5π}{24}$，kπ+$\frac{23π}{24}$]k∈Z．

點評 本題考查三角函數(shù)的故選和性質(zhì)，涉及單調(diào)性和三角函數(shù)不等式的解集，屬中檔題．