Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），x∈R圖象的一條對稱軸是$x=\frac{3π}{8}$，且這條對稱軸與此函數(shù)圖象交于點$（{\frac{3π}{8}，2}）$，這條對稱軸與相鄰對稱軸間的曲線交x軸于點$（{\frac{5π}{8}，0}）$．    
（1）求這個函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）用“五點法”作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的簡圖．（先列表，后畫圖）

Answer 1

分析 （1）由題意，可求T，A，利用周期公式求得ω，又當(dāng)$x=\frac{3π}{8}$時f（x）取最大值，可得$2×\frac{3π}{8}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，結(jié)合范圍-π＜φ＜π，可求φ，從而得解．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈Z$，結(jié)合0≤x≤π，即可得解．
（3）作出一個周期上的表格，在坐標(biāo)系中描點，連線成圖，

解答 解：（1）由題意，函數(shù)f（x）的周期T=4（$\frac{5π}{8}$-$\frac{3π}{8}$）=π，A=2，ω=2，…（2分）
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又當(dāng)$x=\frac{3π}{8}$時f（x）取最大值，
所以，$2×\frac{3π}{8}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又-π＜φ＜π，∴$φ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{4}}）$．…（5分）
（2）∵由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈Z$，
又∵0≤x≤π，
∴$0≤x≤\frac{3π}{8}$或$\frac{7π}{8}≤x≤π$，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{0，\frac{3π}{8}}]，[{\frac{7π}{8}，π}]$．…（10分）
（3）第一步畫出表格如下：

2x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
y	0	2	0	-2	0

第二步，從坐標(biāo)系中描點，
第三步，連線成圖如下：
…（16分）（列表（3分），畫圖3分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的五點法作圖，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，此類題關(guān)鍵是掌握住五點法作圖的規(guī)則與步驟，按要求作圖即可，屬于基本知識的考查．